MÉTODO DE LAGRANGE Extremos relativos: Máximos, mínimos y punto de silla

El Método de los multiplicadores de Lagrange es un método para resolver problemas de programación no lineal, es decir, problemas en los que o bien la función objetivo o bien las funciones de restricciones o las dos son no lineales, es decir, problemas de la forma:

maximizar f (x)
Sujeto a gi (x) = 0
Con gi: Rn → R f: Rn → R y x ∈ Rn
i entero positivo, con 1 ≤ i≤ m

Tipos de problemas de programación no lineal

Optimización no restringida.

Los problemas de optimización no restringida no tienen restricciones, por lo que la función objetivo es sencillamente

Maximizar f(X)

Sobre todos los valores X=(X1, X2,…., XN). Según la condición necesaria para que una solución específica X=X* sea óptima cuando f(X) es una función diferenciable es:
∂f = 0 en X=X*, para j=1,2,…, n.

Ilustración grafica de problemas de programación no lineal

Cuando un problema de programación no lineal tiene solo una o dos variables, se puede representar gráficamente de forma muy parecida a algún ejemplo anterior de programación lineal. Se verán unos cuantos ejemplos, ya que una representación gráfica de este tipo proporciona una visión global de las propiedades de las soluciones óptimas de programación lineal y no lineal. Con el fin de hacer hincapié en las diferencias entre programación lineal y no lineal, se usaran algunas variaciones no lineales del problema anterior. La figura siguiente muestra lo que ocurre con este problema si los únicos cambios que se hacen al modelo mencionado son que la segunda y tercera restricciones funcionales se sustituyen por la restricción no lineal 9X21 + 5X22 <=216. Compare las figuras que se presentan a continuación. La solución óptima sigue siendo (X1, X2) = (2,6). Todavía se encuentra sobre la frontera de la región factible, pero no es una solución factible en un vértice (FEV).

Formulación de un Problema de Programación No Lineal (P.P.N.L.)

Un problema no lineal es un problema de programación matemática donde la función objetivo o alguna restricción es no lineal.

Forma general de un P.P.N. L.  

  Max(Min) f(x1, , x2, . . . , xn) 

  s.a. g1(x1, x2, . . . , xn)(≤, =, ≥)b1 

g2(x1, x2, . . . , xn)(≤, =, ≥)b2  

  gm(x1, x2, . . . , xn)(≤, =, ≥)bm

¿Qué es la Programación Lineal y para qué nos sirve?

Las matemáticas prestan su servicio a la sociedad mediante la elaboración de modelos matemáticos de la realidad. Esta modelación consiste en crear un objeto conceptual que refleje las características relevantes de un fenómeno para, a partir de tal simplificación, llegar a extraer conclusiones que enriquezcan, en algún sentido, el conocimiento que hasta el momento se tiene del fenómeno. Una modelación de gran importancia y utilidad el la modelación lineal, la cual acude al empleo de funciones lineales para conseguir sus objetivos. Sin embargo, a medida que crece la complejidad de los fenómenos que nos rodean, comienza a hacerse necesario modelar fenómenos con los cuales las aproximaciones lineales son notoriamente ineficaces. Por esta razón es necesario emplear modelos no lineales que se ajustan de una manera más precisa a las realidades de alto grado de complejidad.