Ilustración grafica de problemas de programación no lineal

Cuando un problema de programación no lineal tiene solo una o dos variables, se puede representar gráficamente de forma muy parecida a algún ejemplo anterior de programación lineal. Se verán unos cuantos ejemplos, ya que una representación gráfica de este tipo proporciona una visión global de las propiedades de las soluciones óptimas de programación lineal y no lineal. Con el fin de hacer hincapié en las diferencias entre programación lineal y no lineal, se usaran algunas variaciones no lineales del problema anterior. La figura siguiente muestra lo que ocurre con este problema si los únicos cambios que se hacen al modelo mencionado son que la segunda y tercera restricciones funcionales se sustituyen por la restricción no lineal 9X21 + 5X22 <=216. Compare las figuras que se presentan a continuación. La solución óptima sigue siendo (X1, X2) = (2,6). Todavía se encuentra sobre la frontera de la región factible, pero no es una solución factible en un vértice (FEV).


La solución óptima pudo haber sido una solución FEV con una función objetivo diferente (verifique Z=3X1 + X2), pero que no necesite serlo no significa que ya no se puede aprovechar la gran simplificación utilizada en programación lineal que permite limitar la búsqueda de una solución óptima para las soluciones FEV. Ahora suponga que las restricciones lineales d la sección anterior se conserva sin cambio, pero que la función objetivo se hace no lineal. Por ejemplo si:

Entonces la representación gráfica en la anterior indica que la solución óptima es X1=8/3, X2=5, que de nuevo se encuentra en la frontera de la región factible. (El valor óptimo de Z es Z=857, así en la figura anterior muestra el hecho de que el lugar geométrico de todos los puntos para los que z=857 tiene en común con la región factible solo este punto, mientras que el lugar geométrico de los puntos con Z más grandes no toca la región factible en ningún punto.) Por otro lado, si:

Entonces la siguiente figura ilustra que la solución óptima es (x1, x2) = (3,3), que se encuentra dentro de la frontera de la región factible. (se puede comprobar que esta solución óptima si se usa cálculo para derivarla como un máximo global no restringido; como también satisface las restricciones, debe ser óptima para el problema restringido.) Por tanto, es necesario que:

Un algoritmo general para resolver problemas de este tipo tome en cuenta todas las soluciones en la región factible, y no solo aquellas que están sobre la frontera.

Otra complicación que surge en programación no lineal es que un máximo local no necesariamente es un máximo global (la solución óptima global). Por ejemplo, considera la función de una sola variable graficada en siguiente figura.

En el intervalo 0<=X<=5, esta función tiene tres máximos locales –X=0, x=2, x=4 pero solo uno de estos –X=4—es un máximo global. (De igual manera, existen mínimos locales en X=1, 3, 5, pero solo X=5 es un mínimo global).

En general, los algoritmos de programación no lineal no pueden distinguir entre un máximo local y un máximo global (excepto si encuentran otro máximo local mejor), por lo que es determinante conocer las condiciones bajo las que se garantiza que un máximo local es u máximo global en la región factible.